, wenn Sie jemals erweiterte Lehrbücher oder Papiere über die Elektronik gelesen haben, haben Sie möglicherweise erstaunt, dass komplexe Nummern in der Analyse von AC-Schaltungen verwendet werden. Eine komplexe Zahl hat zwei Teile: ein echter Teil und ein imaginärer Teil. Ich dachte oft, dass viele Bücher und Klassen nur irgendwie glänzend über dem, was das wirklich bedeutet. Welcher Teil der elektrischen Macht ist imaginär? Warum machen wir das?
Die kurze Antwort ist Phasenwinkel: Die Zeitverzögerung zwischen einer Spannung und einem Strom in einer Schaltung. Wie kann ein Winkel eine Zeit sein? Das ist ein Teil dessen, was ich erklären muss.
Betrachten Sie zunächst einen Widerstand. Wenn Sie eine Spannung anwenden, fließt ein bestimmter Strom, dass Sie das Gesetz von OHM identifizieren können. Wenn Sie die unmittelbare Spannung über den Widerstand kennen, können Sie den Strom ableiten, und Sie können die Stromversorgung finden – wie viel Arbeit, in der die elektrische Macht tut. Das ist gut für Gleichstrom durch Widerstände. Bauteile wie Kondensatoren und Induktoren mit einem AC-Strom gehorchen jedoch nicht das Gesetz des Ohm. Nehmen Sie einen Kondensator. Der Strom strömt nur, wenn der Kondensator aufgeladen oder entladen ist, so dass der Strom durch sie sich auf die Änderungsrate der Spannung betrifft, nicht der unmittelbare Spannungspegel.
Das bedeutet, dass, wenn Sie die Sinuswellenspannung gegen den Strom aufzeichnen, die Oberseite der Spannung darin besteht, wenn der Strom minimal ist, und der obere Strom ist, wenn sich die Spannung bei Null befindet. Sie können das in diesem Bild sehen, wo die gelbe Welle Spannung (V) ist und die grüne Welle Strom (i) ist. Sehen Sie, wie der grüne Oberteil der gelbe Kurve null kreuzt? und die gelbe Oberseite ist, wo die grüne Kurve null kreuzt?
Diese verknüpften Sinus- und Cosinus-Wellen könnten Sie an etwas erinnern – die X- und Y-Koordinaten eines Punktes, der mit konstanter Rate um einen Kreis gefegt wird, und das ist unsere Verbindung zu komplexen Zahlen. Am Ende des Beitrags sehen Sie, dass es nicht alles kompliziert ist, und die “imaginäre” Menge ist überhaupt nicht imaginär.
Vereinfachung der Annahmen
Beginnen Sie mit einem Audiosignal von jemandem, der das spricht und das in Ihren Kreislauf füttert. Es ist mit unterschiedlichen Frequenzen, die sich ständig ändern. Wenn Sie einen Stromkreis mit nur einem Widerständen darin hatten, können Sie einen Zeitpunkt auswählen, alle vorhandenen Frequenzkomponenten oder die unmittelbare Amplitude suchen, die unmittelbaren Ströme ableiten, und Sie können herkömmliche Techniken verwenden. Sie müssen es nur immer und immer wieder tun. Wenn die Schaltung Induktoren oder Kondensatoren beinhaltet, deren Verhalten von viel mehr als nur die Spannung über sie abhängt, wird dies sehr schneller.
Stattdessen ist es einfacher, mit einer Sinuswelle mit einer einzigen Frequenz zu beginnen und anzunehmen, dass ein komplexes Signal zahlreicher unterschiedlicher Frequenzen nur die Summe zahlreicher Sinne ist. Eine Möglichkeit, an einen Kondensator zu denken, ist es, einen Widerstand in Betracht zu ziehen, der bei niedrigeren Frequenzen einen höheren Widerstand aufweist. Eine Induktor wirkt wie ein Widerstand, der bei höheren Frequenzen größer wird. Da wir nur eine einzige Häufigkeit in Betracht ziehen, können wir jede Kapazitäts- und Induktivitätswerte in eine Impedanz umwandeln: einen Widerstand, der nur in der Häufigkeit von Interesse gut ist. Was mehr ist, ist, dass wir Impedanz als komplexe Zahl darstellen können, damit wir den Phasenwinkel der Schaltung verfolgen können, der direkt auf eine bestimmte Zeitverzögerung zwischen Spannung und Strom betrifft.
Für einen wahren Widerstand ist der imaginäre Teil 0. Das ist sinnvoll, da sich die Spannung und der Strom in der Phase befinden, und aus diesem Grund gibt es überhaupt keine Zeitverzögerung. Für einen reinen Kondensator oder einen Induktor ist der eigentliche Teil Null. Echte Schaltungen haben Kombinationen und haben somit eine Kombination aus realen und imaginären Teilen. Zahlen wie diese sind komplexe Zahlen und Sie können sie auf verschiedene Arten schreiben.
Komplexe Rezension.
Das erste, was erinnert, ist, dass das Wort imaginär nur ein willkürlicher Begriff ist. Vielleicht ist es besser, das normale Implementieren des Wortes imaginär zu vergessen. Diese imaginären Mengen sind keine Art magischer Elektrizität oder Widerstand. Wir verwenden imaginäre Zahlen, um Zeitverzögerungen in Schaltkreisen darzustellen. Das ist alles.
Es gibt eine lange Geschichte darüber, welche imaginären Zahlen in reiner Mathematik implizieren und warum sie imaginär genannt werden. Sie können das sehen, wenn Sie ein Mathematik-Kopf sind, aber Sie sollten wissen, dass Mathematikbücher das Symbol I für den imaginären Teil einer komplexen Zahl verwenden. Da die elektrischen Ingenieure i jedoch für den Strom verwenden, verwenden wir st statt. Sie müssen sich nur erinnern, wenn Sie Math-Bücher lesen, Sie sehen, ich und es ist kein Strom, und es ist das gleiche wie j in elektrischen Büchern.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine komplexe Zahl darzustellen. Der einfachste Weg ist, den echten Teil und den imaginären Teil zusammen mit J zusammen mit J zusammenzufügeln. Also berücksichtigen Sie das:
5 + 3J.
Wir sagen, der eigentliche Teil ist 5 und der imaginäre Teil ist 3 in diesem Formular geschriebene Zahlen sind im rechteckigen Format. Sie können es auf den Zahlenzeilen wie diesem einplanen:
Das führt zum zweiten Weg, um eine komplexe Zahl zu schreiben: Polare Notation. Wenn der Punkt in der Grafik 5 + 3J beträgt, können Sie feststellen, dass ein Vektor die SA darstellen kannIch point. Es hat eine Länge oder Größe und einen Winkel (der Winkel, der es mit der X-Achse des Graphen macht). In diesem Fall beträgt die Größe 5,83 (ungefähr) und der Winkel ist nur ein wenig weniger als 31 Grad.
Das ist interessant, weil es ein Vektor ist und es gibt viele gute mathematische Werkzeuge, um Vektoren zu manipulieren. Es wird in einer Minute wirklich wichtig, da der Winkel einem Phasenwinkel in einer Schaltung entsprechen kann, und die Größe hat auch eine direkte physikalische Beziehung.
Phasenwinkel
Denken Sie daran, dass ich gesagt habe, dass wir eine Wechselstromanalyse mit einer einzigen Häufigkeit machen? Wenn Sie die Wechselspannung querieren, und der Strom, der bei einiger Frequenz durch einen Widerstand läuft, werden die beiden Sinuswellen genau aufläuft. Das liegt daran, dass ein Widerstand nichts Zeit verzögert. Wir würden sagen, der Phasenwinkel über den Widerstand ist Nullgrade.
Bei einem Kondensator scheint der Strom jedoch vor der Spannung um etwas Zeit zu steigen. Dies ist sinnvoll, wenn Sie an DC an Ihre Intuition über Kondensatoren nachdenken. Wenn ein Kondensator entlassen wird, hat es keine Spannung darüber, aber es wird viel Strom verbraucht – es sieht vorübergehend aus wie ein Kurzschluss. Wenn die Ladung baut, steigt die Spannung jedoch den Stromabfall, bis der Kondensator vollständig aufgeladen ist. Zu diesem Zeitpunkt ist die Spannung maximal, aber der Strom ist null oder fast so.
Induktivitäten haben die entgegengesetzte Anordnung: Spannung führt Strom, sodass die Kurven gleich aussehen würden, aber die V-Kurve ist nun der I und die I-Kurve ist jetzt das V. Sie können sich daran erinnern, dass mit dem Easy Mnemonic Eli der Eismann, wo E ist Spannung wie in Ohms Gesetz. Wenn Sie über die Phasenverschiebung in einem Schaltung sprechen, sind Sie wirklich implizieren, wie viel der Strom die Spannung in einer bestimmten Frequenz verlässt. Das ist eine wesentliche Idee: Phasenverschiebung oder Winkel ist der Zeitpunkt der Zeit, den der Strom führt oder die Spannung verleitet. Sie können die Phase auch zwischen anderen Dingen wie zwei unterschiedlichen Spannungsquellen messen, typischerweise, wenn Sie sagen, dass “Diese Schaltung hat eine Phasenverschiebung von 22 Grad”, die die Spannung vs. der aktuellen Zeitverzögerung implizieren.
Denken Sie daran, dass eine Sinuswelle wie ein Kreis ist, der zu einer Linie gebogen ist. Wenn also der Beginn der Sinuswelle bei 0 Grad ist, beträgt die Oberseite der positiven Oberseite um 90 Grad. Die zweite 0-Kreuzung beträgt 180 Grad, und die negative Oberseite beträgt 270 Grad, genau wie die Punkte auf einem Kreis. Da sich die Sinuswelle in einer festen Frequenz befindet, ist das Setzen von etwas zu einem bestimmten Grad-Zeichen das gleiche wie eine Zeit.
Im Falle eines Widerstands beträgt die Verschiebung 0 Grad. In komplexer Notation ist ein 100-Ohm-Widerstand 100 + 0J. Es kann auch 100∠0 sein. Bei einem Kondensator steigt der Strom vor der Spannung um 90 Grad, so dass ein Kondensator eine Phasenverschiebung von -90 aufweist. Aber was ist die Größe?
Sie haben wahrscheinlich gelernt, dass die kapazitive Reaktanz gleich 1 / (2πfc) ist, wobei f die Frequenz in Hz ist. Das ist die Größe der polaren Form. Natürlich, weil -90 Grad gerade die Zahlenzeile ist, ist es auch der imaginäre Teil der rechteckigen Form (und der reale Teil Null ist). Wenn eine kapazitive Reaktanz (XC) gleich 50 ist, können Sie 0-50J oder 50∠-90 schreiben. Induktivitäten arbeiten gleich, aber die Reaktanz (XL) ist 2πfl und der Phasenwinkel beträgt 90 Grad. So wäre ein Induktor mit derselben Reaktanz 0 + 50J oder 50∠90.
Das Macht finden.
Schauen wir uns ein schnelles Beispiel für ein, was diese Phasenwinkel gut für: Berechnung der Macht sind. Sie wissen, dass die Leistung Spannungszeiten aktuell ist. Wenn also ein Kondensator 1 V über ihn ist (Peak) und zeichnet 1 A durch (Peak), ist die Leistung 1 Watt? Nein, weil es 1 V bei 1 A gleichzeitig nicht zeichnet.
Betrachten Sie diese Simulation (siehe Abbildung rechts). Sie können die Spuren links sehen, wie die 90-Grad-Phasenverschiebung sehr deutlich zeigt (die grüne Spur ist Spannung und der gelbe Strom ist aktuell). Die obere Spannung beträgt 1,85 V und die aktuellen Peaks bei ca. 4,65 mA. Das Produkt der Spannungszeiten Der Strom beträgt 8,6 MW. Aber das ist nicht die beste Antwort. Die Macht ist eigentlich 4.29 MW (siehe den Grafik rechts). In einem idealen Kondensator ist die Macht nicht konsumiert. Es wird gespeichert und freigegeben, weshalb die Macht negativ ist. Echte Kondensatoren zeigen natürlich einen gewissen Verlust.
Beachten Sie, dass die Stromversorgung nicht 4,29 MW bietet, sondern viel weniger. Das liegt daran, dass der Widerstand das einzige ist, was die Macht verbraucht. Die Spannung und der Strom sind in der Phase dafür, und einige der erforderlichen Leistung erfolgt von der gespeicherten Ladung des Kondensators.
Schaltkreise
Die Größe des Vektors ist in Ohms Gesetz nutzbar. Beispielsweise ist bei 40 Hz der XC der Beispielschaltung knapp unter 400 Ohm. Die totale komplexe Impedanz für die RC-Schaltung beträgt also 1000 – 400J.
Wenn Sie mit Vektoren geschickt sind, könnten Sie Polar tun, indem Sie 1000∠0 + 400∠-90 schreiben. Es ist jedoch typischerweise einfacher, die rechteckige Version zu schreiben und in Polar umzuwandeln (Wolfram Alpha ist das Gut dazu; Denken Sie daran. Denken Sie daran, i nicht anstelle von J). Die Größe ist nur der pythagoreanische Satz und der Winkel ist einfacher Trig. Ich werde nicht hineingehen, aber hier ist die Formel, in der R bzw. j die echten und imaginären Teile sind.
mag = sqrt (r^ 2 + J ^ 2)
Phase = arctan (j / r)
Unser Beispiel ist dann 1077∠-21,8.
Wie kommt die Kraft aus der Spannungsquelle? Die Leistung ist e ^ 2 / r (oder eigentlich ^ 2 / z in diesem Fall). So 25/1077 = 23 MW Peak. Die Simulation zeigt 22.29 und weil ich ein paar Werte gerundet habe, ist das nahe genug.
Das ist es?
Das ist natürlich nicht, aber es ist alles, was Sie für viele Zwecke wissen müssen. Zahlreiche elektronische Texte für Hobby-Level spähen auf den Details und arbeiten einfach mit Größen. Für einfache Stromkreise kann dies funktionieren, aber für etwas Komplexes (kein Wortspiel beabsichtigt) wird es schnell behaart.
Dieses Beispiel zeigte dieses Beispiel Elemente in Reihe. Sie können jedoch parallel parallel hinzugefügt werden, so wie Sie Widerstände parallel tun.
Die wesentlichen Konzepte, die Sie erinnern müssen, sind:
Die Analyse einer Wechselstromkreislauf erfolgt meistens bei einer einzelnen Frequenz mit einem Sinuswelleneingang.
Imaginäre Zahl sind nicht imaginär.
Die Größen von komplexen Zahlen in polaren Formen können wie ein Widerstand behandelt werden.
Phasenwinkel ist die Zeitverzögerung zwischen der Spannung und der Stromwellenform.
Es gibt viele Details, die ich überlegt habe. Sie müssen wahrscheinlich nicht wissen, wie ich wirklich die quadratische Wurzel negativer ist. Oder wie Euler-Nummer in diese und die Einfachheit der Integration und Differenzierung von Sinuswellen spielt, die mit einer Amplitude und einem Phasenwinkel geschrieben sind. Wenn Sie an der mathematischen Geschichte interessiert sind, haben imaginäre Zahlen eine ziemliche Geschichte hinter sich. Wenn Sie etwas mehr praktischer wünschen, hat Khan Academy einige hilfreiche Videos. Was hier hier behandelt ist, sollten jedoch alles sein, was Sie wissen müssen, um mit Wechselstromkreisen zu arbeiten.